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2017年11月23日

素数は本当に面白くて難しくて止まらなくなるということをできるだけわかりやすく話します




おはようございます。

2017年11月の記事です。

さていよいよ来年早々にも行われる私立高校の入学試験に向けたカウントダウンが始まりました。

受験生の中学校3年生のお子さんをお持ちの保護者の方々にとっても、気が気でない年末年始になってきそうです。

さて、そのような中、高校入試で大きな得点源にも弱点にもなりうる数学について、ちょっと息抜きの話をしようと思います。

息抜きといっても、とりあえず実際の問題から話は始まります。

√(n^2-48)が整数となる条件を満たす全てのnを求めよ、という問題がありました(実際の高校入試問題です)。

ルートの中は、とりあえず中学数学までは0以上しかありえませんから(高校数学になると二乗してマイナスになるという虚数という概念が登場しますがとりあえず先の話です)、これだけで、二乗して48以上になる数、つまりn=7以上の自然数であることは確実となります。

そうです、まずはn=7が正解となります。

49-48=1で、ルート1は1となり整数となるからです。

次に、 8,9,10...と力技で当てはめていくという方法もありますが、少しだけ一般化して、結果整数となる数をaとすると、ルートの中に入る数字としてはa^2(aの二乗)ということになり、つまり、n^2-48=a^2 これを変形すると

n^2-a^2=48

となるnとaの組み合わせを探せば良いと言うことになります。

そして、この式は、

(n+a)(n-a)=48

と書き換えられますから、48を素因数分解して、

48=1*2*2*2*2*3

n=7のとき、a=1とすれば、

(7+1)(7-1)=8*6=48

となったわけです。

もう一つ、n=8,a=4とすれば、

(8+4)(8-4)=12*4=48

となりますので、n=8も答えです。

もう一つ探すのが困難になりますが、

掛け合わせて48になる組み合わせとして、

8*6(見つかった)
12*4(見つかった)

とくれば、

16*3(こっちは見つからない)
24*2(下記の通り見つかる)

もあるのではないかというのは気づいて欲しいところです。

そうすれば、足して13、引いて2になる二つの数の組み合わせとして、

n=13,a=11

という組み合わせが見つかるのではないでしょうか。

そうして、n=14以上で

48*1

という組み合わせを満たす二つの数はないなと感覚的にわかるので、これで検討は終了、答えn=7,8,13

となるというわけです。

このように、整数論や素数という考え方は非常に奥が深いものです。

なお、「1はなぜ素数ではないのか」という疑問がありますが、そもそも素数とは1で割切るかその数自身で割切るしかない数、という定義であり、さらに言えばあらゆる素数はあらゆる他の素数の掛け算では示せないということも合わせて言っています。

すなわち、素数3は素数2では表せませんし、素数5は素数2、素数3の掛け算では表現できません。

素数7は、素数2,3,5どれを使っても適切に表現できないのです。

しかしながら、ここで1も素数としてしまいますと、素数2も1*2で表現できてしまうことになり、すなわち、1を素数としたことにより2以上のあらゆる無限にあると言われる素数が死滅するという非常い厄介かつ寂しい状態を招来してしまうので、1は素数には含めないということになっているのです。

なかなか割り切れない人生を送っております、明日には重大発表を控えております筆者からは以上です。

(平成29年11月23日 木曜日)